Question

已知直线y=-x+1与椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上．
（1）求此椭圆的离心率；
（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x²+y²=4上，求此椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设点P为椭圆C上一动点，已知点M₀（0，t），（其中t为常数）求线段PM₀长的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1））将直线y=1-x代入椭圆方程整理得关于x的方程，运用韦达定理，求出中点坐标，再由条件得到a²=2b²，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可求出离心率；
（2）设出对称点的坐标，由点关于直线的对称得到方程组，求出对称点，再代入圆的方程，即可得到c=2，再由离心率，得到a，从而得到b，求出椭圆方程；
（3）设P（2

2

cosα，2sinα），求出|PM₀|=

8+2t2-4(sinα+ t 2 )2

，由于sinα∈[-1，1]，讨论1）-

t

2

∈[-1，1]，2）-

t

2

＞1，3）-

t

2

＜-1，线段PM₀长的最大值和最小值．

解答： 解：（1）将直线y=1-x代入椭圆方程得，b²x²+a²（1-x）²=a²b²，即（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，
即AB中点的横坐标是

a2

a2+b2

，纵坐标是

b2

a2+b2

，
由于线段AB的中点在直线l：x-2y=0上，则a²=2b²，又b²=a²-c²，
则a²=2c²，e=

c

a

=

2

2

即椭圆的离心率为

2

2

；
（2）设右焦点（c，0）关于直线x-2y=0的对称点为（m，n），则

n m-c =-2 m+c 2 =n

，解得

m= 3 5 c n= 4 5 c

，
由于椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x²+y²=4上，则

9c2

25

+

16c2

25

=4，c²=4，c=2．
由于e=

2

2

．则a=2

2

，b=2．
故椭圆方程为：

x2

8

+

y2

4

=1；
（3）设P（2

2

cosα，2sinα），
则|PM₀|=

(2 2 cosα)2+(2sinα-t)2

=

-4sin2α-4sinα•t+t2+8

=

8+2t2-4(sinα+ t 2 )2

∵sinα∈[-1，1]，
∴1）-

t

2

∈[-1，1]时，线段PM₀长的最大值为

8+2t2

，
sinα=-1时，|PM₀|=|t+2|，sinα=1时，|PM₀|=|t-2|，
①0≤t≤2时，线段PM₀长的最小值为|t-2|，
②-2≤t＜0时，线段PM₀长的最小值为|t+2|．
2）-

t

2

＞1时，[-1，1]为增区间，故线段PM₀长的最小值为|t+2|，最大值为|t-2|；
3）-

t

2

＜-1时，[-1，1]为减区间，故线段PM₀长的最小值为|t-2|，最大值为|t+2|．
综上，当-2≤t＜0时，线段PM₀长的最小值是|t+2|，最大值为

8+2t2

；
当0≤t≤2时，线段PM₀长的最小值是|t-2|，最大值为

8+2t2

；
当t＜-2时，线段PM₀长的最小值为|t+2|，最大值为|t-2|；
当t＞2时，线段PM₀长的最小值为|t-2|，最大值为|t+2|．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理求解中点问题，考查点关于直线的对称问题，以及椭圆参数方程的运用求最值，注意讨论对称轴与区间的关系，本题是一道综合题．