Question

如图所示，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（

2

，

6

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A，B为椭圆上不同的两点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）把点（

2

，

6

2

）代入椭圆方程结合c=1及a²+b²=c²求得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）设出A，B的坐标，写出直线AF和BN的方程，联立求得M点的坐标，在把A的坐标用M的坐标表示，代入椭圆方程后得M的轨迹方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1过点（

2

，

6

2

），且焦点为F（1，0），
∴

c=1 a2+b2=c2 2 a2 + 3 2b2 =1

，解得：a²=4，b²=3，
则椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）∵F（1，0）、N（4，0），设A（m，n），则B（m，-n）n≠0，
则直线AF的方程为：y=

n

m-1

(x-1)，
BN的方程分别为：y=

n

4-m

(x-4)，
则联立方程解得点M的坐标为x0=

5m-8

2m-5

，y0=

3n

2m-5

．
则m=

5x0-8

2x0-5

，n=

3y0

2x0-5

．
将点A（m，n）代入椭圆C中可得

x02

4

+

y02

3

=1．
∵m≠±2，
∴x₀≠±2．
即点M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（x≠±2）．

点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线关系问题，训练了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．