Question

9．已知f（x）为一次函数，g（x）为二次函数，且f[g（x）]=g[f（x）]．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若y=g（x）与x轴及y=f（x）都相切，且g（0）=$\frac{1}{16}$，求g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出f（x），g（x）的解析式，利用待定系数法求解．
（Ⅱ）根据y=g（x）与x轴及y=f（x）都相切，g（0）=$\frac{1}{16}$，建立关系，利用判别式求解．

解答 解：由题意，设f（x）=kx+m，g（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f[g（x）]=g[f（x）]．
∴k（ax²+bx+c）+m=a（kx+m）²+b（kx+m）+c，
解得：k=1，m=0
∴f（x）的解析式为f（x）=x
（Ⅱ）∵g（0）=$\frac{1}{16}$，
∴c=$\frac{1}{16}$
得g（x）=ax²+bx+$\frac{1}{16}$
又∵y=g（x）与x轴，相切，
可得：4ac=b²，即$\frac{1}{4}a={b}^{2}$…①
又∵y=g（x）与f（x）=x相切，
可得：ax²+bx+$\frac{1}{16}$=x，即方程ax²+x（b-1）+$\frac{1}{16}$=0只有一个解．
∴$（b-1）^{2}=\frac{1}{4}a$…②
由①②解得：b=$\frac{1}{2}$，a=1
故得g（x）的解析式为g（x）=x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查了函数解析式的求法，利用了待定系数法，属于基础题．