Question

10．若x，y且x+y＞2，则$\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$的值满足（　　）

• A． $\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$都大于2
• B． $\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$都小于2
• C． $\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$中至少有一个小于2
• D． 以上说法都不对

Answer 1

分析 根据反证法假设$\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$都不小于2，相加得到矛盾，假设错误，判断结论即可．

解答 解：假设$\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$都不小于2．
因为x＞0，y＞0，
所以1+x≥2y，且1+y≥2x，
两式相加得1+x+1+y≥2（x+y），
即x+y≤2，这与x+y＞2相矛盾，
因此1+xy与1+yx中至少有一个小于2．
故选：C．

点评 本题考查了不等式的性质，考查反证法的应用，是一道基础题．