Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示
（1）求函数f（x）的最小正周期及解析
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知得函数f（x）的最小正周期T=2（

2π

3

-

π

6

）=π，A=

1-(-1)

2

=1，ω=

2π

T

=

2π

π

=2，由|φ|＜

π

2

，结合图象得φ=

π

6

，能求出f（x）．
（2）由0≤x≤

π

2

，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，能求出f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值是1，最小值是-1．

解答： 解：（1）由已知得函数f（x）的最小正周期T=2（

2π

3

-

π

6

）=π．
A=

1-(-1)

2

=1，ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
把（

π

6

，1）代入，得sin（

π

3

+φ）=1，
由|φ|＜

π

2

，结合图象得φ=

π

6

，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）．
（2）∵函数f（x）=sin（2x+

π

6

），
0≤x≤

π

2

，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值是1，最小值是-1．

点评：本题考查函数f（x）的最小正周期及解析的求法，考查函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要注意正弦函数的图象的合理运用．