Question

8．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，运用三角形的中位线定理和三角形相似的性质可得离心率．

解答 解：如图，设AC中点为M，连接OM，
则OM为△ABC的中位线，
于是△OFM∽△AFB，且$\frac{|OF|}{|FA|}$=$\frac{|OM|}{|AB|}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{c}{a-c}$=$\frac{1}{2}$可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，运用中位线定理和三角形相似的性质是解题的关键．