Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点$（0，\sqrt{3}）$，离心率为$\frac{1}{2}$，左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线y=x+1与椭圆交于A，B两点，与以线段F₁F₂为直径的圆交于C，D两点，求$\frac{|AB|}{|CD|}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}\end{array}\right.$，解出即可．
（Ⅱ）由题意可得以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=1．求出A，B，C，D四点的坐标，求出|AB|，|CD|可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}\end{array}\right.$，
解得b=$\sqrt{3}$，c=1，a=2．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）由题意可得以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=1．
∴则C点坐标为（-1，0），D点坐标为（0，1），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$得：7x²+8x-8=0，
解得：x=$\frac{-4-6\sqrt{2}}{7}$，或x=$\frac{-4+6\sqrt{2}}{7}$，
则A点坐标为：（$\frac{-4-6\sqrt{2}}{7}$，$\frac{3-6\sqrt{2}}{7}$），D点坐标为：（$\frac{-4+6\sqrt{2}}{7}$，$\frac{3+6\sqrt{2}}{7}$），
故|AB|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，|CD|=$\sqrt{2}$，
$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，两点之间的距离公式，难度中档．