Question

18．已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，若有穷数列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}，n∈{N^*}$的前n项和为$\frac{255}{256}$，则n=8．

Answer 1

分析 由f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）可知y=a^x时减函数，结合$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$可解出a，从而得出数列的通项公式，带入求和公式即可解出n的值．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，
则F′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{（g（x））^{2}}$＜0，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$是减函数，
∴0＜a＜1
∵$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，
∴a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$．
∴{$\frac{f（n）}{g（n）}$}=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
其前n项和为S_n=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
∴1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ=$\frac{255}{256}$，
解得n=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了函数单调性与导数的关系及数列求和，属于综合题．