Question

20．过点A（-1，-2）且焦点与椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的两个焦点相同的椭圆的标准方程是$\frac{{y}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 先根据椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1得到它的焦点，再设所求的椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{m}+\frac{{x}^{2}}{m-3}$=1，代入点A的坐标即可解出m的值，得到椭圆的标准方程．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1中，a²=9，b²=6
∴c²=a²-b²=3，得焦点坐标为（0，±$\sqrt{3}$）
故设所求的椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{m}+\frac{{x}^{2}}{m-3}$=1，（m＞3）
∴$\frac{4}{m}+\frac{1}{m-3}$=1，解之得m=6（m=2不合题意，舍去）
所以椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$．

点评 本题在已知椭圆与椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的两个焦点相同，求椭圆的标准方程，着重考查了椭圆的标准方程与基本概念，属于基础题．