题目内容
13．
如图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，|AF|的最大值为M，|BF|的最小值为m，满足$M•m=\frac{3}{4}{a^2}$．（Ⅰ）若线段AB垂直于x轴时，|AB|=$\frac{3}{2}$，求椭圆的方程；
（Ⅱ） 设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点，记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，求$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{{{S_1}^2+{S_2}^2}}$的取值范围．
分析 （Ⅰ） 设F（-c，0）（c＞0），则根据椭圆性质得M=a+c，m=a-c，结合条件，解方程可得a，c，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设出椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，设直线AB的方程为y=k（x+c），并设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，由韦达定理和中点坐标公式可得G的坐标，再由三角形相似的性质，可得面积比为对应边的平方比，结合不等式的性质即可得到所求范围．
解答 解：（Ⅰ） 设F（-c，0）（c＞0），则根据椭圆性质得
M=a+c，m=a-c而M•m=$\frac{3}{4}$a2，
所以有a2-c2=$\frac{3}{4}$a2，即a2=4c2，即a=2c，
又$\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{3}{2}$且a2=b2+c2，
得$a=1，{b^2}=\frac{3}{4}$，
因此椭圆的方程为：${x^2}+\frac{{4{y^2}}}{3}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=2c，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为y=k（x+c），
并设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+c）\\ \frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1\end{array}\right.$消去y并整理得，（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2-12c2=0，
从而有${x_1}+{x_2}=-\frac{{8c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}+2c）=\frac{6ck}{{4{k^2}+3}}$，
所以$G（-\frac{{4c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，\frac{3ck}{{4{k^2}+3}}）$．
因为DG⊥AB，所以$\frac{{\frac{3ck}{{4{k^2}+3}}}}{{-\frac{{4c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}-{x_D}}}•k=-1$，即${x_D}=-\frac{{c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$．
由Rt△FGD与Rt△EOD相似，
所以$\frac{S_1}{S_2}=\frac{{G{D^2}}}{{O{D^2}}}=\frac{{{{（-\frac{{4c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+\frac{{c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}）}^2}+{{（\frac{3ck}{{4{k^2}+3}}）}^2}}}{{{{（-\frac{{c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}）}^2}}}=9+\frac{9}{k^2}＞9$．
令$\frac{S_1}{S_2}=t$，则t＞9，
从而$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{{{S_1}^2+{S_2}^2}}=\frac{2}{{t+\frac{1}{t}}}＜\frac{2}{{9+\frac{1}{9}}}=\frac{9}{41}$，
即$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{{{S_1}^2+{S_2}^2}}$的取值范围是$（0，\frac{9}{41}）$．
点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查三角形相似的性质：三角形的面积之比为相似比的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
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