Question

17．直线x-2y+3=0与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$相交于A，B两点，且P（-1，1）恰好为AB中点，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程；设出A、B两点的坐标，由根与系数的关系，可得x₁+x₂，y₁+y₂；从而得线段AB的中点坐标，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，
消去x，得（4b²+a²）x²-12b²x+9b²-a²b²=0，
△=144b⁴-4（a²+4b²）（9b²-a²b²）＞0⇒a²+4b²＞9，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{12{b}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$，
∵线段AB的中点为（-1，1），
∴$\frac{12{b}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$=2，于是得a²=2b²，
又a²=b²+c²，∴a²=2c²，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
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点评 本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、直线与椭圆的综合应用问题，也考查了一定的逻辑思维能力和计算能力．解题时应细心解答．