Question

14．已知函数f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x+a）为偶数，求|a|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（Ⅱ）根据三角函数的平移变换，求解g（x）的解析式，图象关于y轴对称，可求|a|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈R．
=sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}（2co{s}^{2}x-1）$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
解得：$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{12}$
∴f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{12}$，$kπ+\frac{5π}{12}$]，k∈Z
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵g（x）=f（x+a），且是偶函数，
∴g（x）=sin（2x+2a-$\frac{π}{3}$），
g（x）是偶函数，可得2a-$\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z
解得：a=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z
当k=-1时，|a|的最小值为$\frac{π}{12}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．