Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=

2n+1•an

an+2n+1

，a₁=2，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由题意转化为出

1

an+1

-

1

an

=2ⁿ⁺¹，再利用累加法求出通项，问题得以解决

解答： 解：∵a_n+1=

2n+1•an

an+2n+1

，
∴a_n+1（a_n+2ⁿ⁺¹）=a_n•2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1•a_n=（a_n-a_n+1）2ⁿ⁺¹，
∴

1

an+1

-

1

an

=2ⁿ⁺¹，
∴

1

a2

-

1

a1

=2，

1

a3

-

1

a2

=2²，
…，

1

an

-

1

an-1

=2ⁿ，
两边累加得，
∴

1

an

-

1

2

=2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
∴

1

an

=2ⁿ⁺¹-

3

2

，
∴a_n=

2

2n+2-3

点评：本题考查数列的递推式求和通项的问题，关键求出

1

an+1

-

1

an

=2ⁿ⁺¹，利用累加法求出通项的常用方法，属于中档题