Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，M为PD中点．若AC=2PO，求二面角P-AB-C的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：以OA为x轴，过O作CB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-C的正切值．

解答： 解：以OA为x轴，过O作CB的平行线为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AD=AC=2，
则A（1，0，0），B（-1，2，0），P（0，0，1），
∴

PA

=(1，0，-1)，

PB

=（-1，2，-1），
设平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PA =x-z=0 n • PB =-x+2y-z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，1），
又平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角P-AB-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

3

|=

3

3

，
∴tanθ=

2

，
∴二面角P-AB-C的正切值为

2

．

点评：本题考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．