题目内容
已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），C（1，-2），
=
+λ
．
（1）当λ=2时，求
的坐标；
（2）若
⊥
，且向量
=（2+t，
），其中t∈（0，+∞），求
•
的最大值．
| OP |
| OA |
| AB |
（1）当λ=2时，求
| OP |
（2）若
| OP |
| OC |
| OD |
| 2 |
| t |
| OP |
| OD |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）将λ代入，利用向量相等得到所求；
（2）利用
⊥
，解得λ值，求出
•
的解析式，利用基本不等式求最大值．
（2）利用
| OP |
| OC |
| OP |
| OD |
解答：
解：（1）由已知
=（1，2），
=（3，3），λ=2，则
=
+2
=（1，2）+2（3，3）=（7，8）．所以
=（7，8）；
（2）若
⊥
，
•
=0，
=
+λ
=（1+3λ，2+3λ）．
所以1+3λ-2（2+3λ）=0，即λ=-1，所以
=（-2，-1），向量
=（2+t，
），其中t∈（0，+∞），
所以
•
=-4-2t-
=-4-2（t+
）≤-4-4=-8，
当且仅当t=
=1时等号成立；
| OA |
| AB |
| OP |
| OA |
| AB |
| OP |
（2）若
| OP |
| OC |
| OP |
| OC |
| OP |
| OA |
| AB |
所以1+3λ-2（2+3λ）=0，即λ=-1，所以
| OP |
| OD |
| 2 |
| t |
所以
| OP |
| OD |
| 2 |
| t |
| 1 |
| t |
当且仅当t=
| 1 |
| t |
点评：本题考查了向量的坐标运算以及向量垂直的性质运用，还有利用基本不等式求最值，属于中档题．
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