Question

1．△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，$\overrightarrow m$=（sinB，5sinA+5sinC）与$\overrightarrow n$=（5sinB-6sinC，sinC-sinA）垂直．
（1）求sinA的值；
（2）若a=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知及平面向量数量积的运算可得${sin^2}B+{cos^2}C-{cos^2}A=\frac{6sinBsinC}{5}$，利用正弦定理，余弦定理得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{3}{5}$，根据同角三角函数基本关系式即可得解sinA的值．
（2）由（1）可得：b²+c²-a²=$\frac{6bc}{5}$，利用基本不等式可求bc≤10，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（{sinB，5sinA+5sinC}）$与$\overrightarrow n=（{5sinB-6sinC，sinC-sinA}）$垂直，
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n=5{sin^2}B-6sinBsinC+5{sin^2}C-5{sin^2}A=0$，
即${sin^2}B+{sin^2}C-{sin^2}A=\frac{6sinBsinC}{5}$．
根据正弦定理得${b^2}+{c^2}-{a^2}=\frac{6bc}{5}$．由余弦定理得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{3}{5}$．
∵A为三角形内角，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
（2）由（1）可得：b²+c²-a²=$\frac{6bc}{5}$，
∴$\frac{6bc}{5}$=b²+c²-a²≥2bc-a²，
又∵a=2$\sqrt{2}$，
∴bc≤10，
∵△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{2bc}{5}$≤4，
∴△ABC的面积S的最大值为4．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，基本不等式，三角形面积公式的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．