Question

11．已知平面向量$\overrightarrow a=（1，-\sqrt{3}），\overrightarrow b=（3，\sqrt{3}）$，则向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 先求出向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，从而可以由$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$带入坐标便可求出cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞$，进而便可得出向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（4，0）$，设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则：
$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}=\frac{4}{2×4}=\frac{1}{2}$；
∴$θ=\frac{π}{3}$；
即向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 考查向量坐标的加法运算，向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度，以及向量夹角的余弦公式，已知三角函数值求角，清楚向量夹角的范围．