Question

20．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x，求：
（1）它的最小正周期；
（2）它的最值；
（3）并指出在区间[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）先根据二倍角公式化简f（x），再根据周期定义即可求出最小正周期；
（2）根据函数的解析式和正弦函数的图象和性质即可求出最值；
（3）先求出函数的单调区间，再判断即可．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴它的最小正周期为π，
（2）有（1）可知最小值为-2，最大值为2，
（3）∵f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）在x∈[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]（k∈Z）上为增函数，
当k=0时，为[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
当k=1时，为[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴函数f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]和[$\frac{5π}{6}$，π]上单调递增．

点评 本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象和性质，属于基础题．