Question

有定点P（6，4）及定直线l：y=4x，点Q是l上在第一象限内的点，PQ交x轴的正半轴于点M，
（1）当P点平分线段MQ时，求直线MQ的方程；
（2）当△OMQ是以OM为底的等腰三角形时求出Q点坐标；
（3）点Q在什么位置时，△OMQ的面积最小，并求出最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设点M（m，0），则M点关于P点对称点为（12-m，8），由题可知，点（12-m，8）必在直线l上，由此能求出直线MQ方程．
（2）设点Q（x₀，4x₀），直线PQ的方程为y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6），由此能求出Q（

7

2

，14）．
（3）设点Q（x₀，4x₀），则直线PQ的方程为y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6），点M的坐标为（

5x0

x0-1

，0）．设△OMQ的面积为S，则10x-Sx₀+S=0，由此能求出点Q的坐标为（2，8）时，△OMQ的面积最小，且最小值为40．

解答： 解：（1）设点M（m，0），则M点关于P点对称点为（12-m，8），
由题可知，点（12-m，8）必在直线l上，
∴8=4（12-m），即m=10，
∴M（10，0），直线MQ方程为2x+y-20=0．
（2）设点Q（x₀，4x₀），（x₀＞6，（x₀≤6时不满足条件）），
∴直线PQ的方程为y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6）．
令y=0得x=

5x0

x0-1

，∴点M的坐标为（

5x0

x0-1

，0），
由题可得|OQ|=|QM|，即x₀=

7

2

，
∴Q（

7

2

，14）
（3）设点Q（x₀，4x₀）（x₀＞1且x₀≠6），
则直线PQ的方程为y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6）．
令y=0得x=

5x0

x0-1

，∴点M的坐标为（

5x0

x0-1

，0）．
设△OMQ的面积为S，则S=

1

2

|OM|•4x₀=，即10x-Sx₀+S=0．
∴关于x₀的一元二次方程有实根．
∴△=S²-40S≥0，即S≥40．
当S=40时，x₀=2，4x₀=8，∴点Q的坐标为（2，8）．
而当x₀=6时，点Q的坐标为（6，24），
此时S=

1

2

×6×24=72＞40，不符合要求．
故当点Q的坐标为（2，8）时，△OMQ的面积最小，且最小值为40．

点评：本题考查直线MQ的方程的求法，考查Q点坐标的求法，考查点Q在什么位置时，△OMQ的面积最小，并求出最小值．解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．