Question

12．用一个实心木球毛坯加工成一个棱长为$\sqrt{2}$的三棱锥，则木球毛坯体积的最小值应为$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．

Answer 1

分析 由题意，将三棱锥补成一个正方体，其棱长为1，则木球毛坯体积最小时应为正方体的外接球，由正方体对角线长公式求得球的直径，则木球毛坯体积的最小值可求．

解答 解：如图，
将三棱锥补成一个正方体，其棱长为1，则木球毛坯体积最小时应为正方体的外接球，
此时直径为$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，体积为$\frac{4}{3}π{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）^3}=\frac{{\sqrt{3}π}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，分割补形是关键，是中档题．