Question

1．用数学归纳法证明：1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…$\frac{1}{1+2+3+…n}$=$\frac{2n}{n+1}$ （n∈N^*），由“k递推到k+1”时左端需增加的代数式是$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$．

Answer 1

分析 根据等差数列前n项和公式可知1+2+3…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，求得$\frac{1}{1+2+3+…n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，再根据数学归纳法由n=k到n=k+1左边需要添加的项是$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$．

解答 解：由等差数列前n项和公式可知1+2+3…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{1+2+3+…n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
∴等式左边=1+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{（n-2）（n-1）}$+$\frac{2}{（n-1）n}$+$\frac{2}{n（n+1）}$，
∴用数学归纳法证明时，由n=k到n=k+1左边需要添加的项是$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$，
故答案为：$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$．

点评 本题考查数学归纳法的应用，考查等差数列前n项和公式，考查转化思想，考查推理和证明能力，属于中档题．