Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，${a_n}=2{S_{n-1}}+{3^n}$（n∈N^*且n≥2），则数列{a_n}的通项公式为a_n=（2n+1）•3^n-1．

Answer 1

分析 当n∈N^*，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得；${S_n}=3{S_{n-1}}+{3^n}$，化为：$\frac{S_n}{3^n}-\frac{{{S_{n-1}}}}{{{3^{n-1}}}}=1$，$\frac{S_1}{3}=1$，利用等差数列的通项公式，及其递推关系即可得出．

解答 解：∵当n∈N^*，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
∴由${a_n}=2{S_{n-1}}+{3^n}$得${S_n}-{S_{n-1}}=2{S_{n-1}}+{3^n}$，即${S_n}=3{S_{n-1}}+{3^n}$，
两边同时除以3ⁿ得$\frac{S_n}{3^n}-\frac{{{S_{n-1}}}}{{{3^{n-1}}}}=1$，$\frac{S_1}{3}=1$，∴数列$\left\{{\frac{S_n}{3^n}}\right\}$是以1为首项，1为公差的等差数列，∴$\frac{S_n}{3^n}=n$．
即${S_n}=n•{3^n}$，当n∈N^*，n≥2时，${a_n}=2{S_{n-1}}+{3^n}=2•（n-1）•{3^{n-1}}+{3^n}$=（2n+1）•3^n-1，该式对n=1成立，
故${a_n}=（2n+1）•{3^{n-1}}$．
故答案为：（2n+1）•3^n-1．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．