Question

3．如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC．O为AB的中点，OF⊥BC．
（1）求证：OE⊥FC；
（2）设AF=1，AC=$\sqrt{3}$，求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，推导出OC⊥AB，OC⊥OF，从而OF⊥OE，又OC⊥OE，故OE⊥平面OFC，由此能证明OE⊥FC．
（2）取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角F-CE-B的余弦值．

解答 证明：（1）连结OC，因AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB，
又因平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABEF，于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，所以OF⊥平面OEC，所以OF⊥OE，
又因为OC⊥OE，故OE⊥平面OFC，
所以OE⊥FC．（6分）
解：（2）由（1），得AB=2AF，因AF=1，所以AB=2，
取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则F（0，-1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），
从而$\overrightarrow{CE}$=（-$\sqrt{2}$，1，1），$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，0），
设平面FCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}=-\sqrt{2}x+y+z=0}\\{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=-2y=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\sqrt{2}$），
同理可求得平面CEB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{2}$，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{3}$，
由于二面角F-CE-B为钝二面角，则二面角F-CE-B的余弦值为-$\frac{1}{3}$．（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角F-CE-B的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．