Question

已知函数f（x）=ax²+（2a+1）x+1-3a，其中a≠0．
（1）若函数y=f（x）在（-∞，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（lgx）=0的两根之积x₁•x₂=10，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数的零点,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=ax²+（2a+1）x+1-3a在（-∞，2]上单调递增可知函数的图象开口向下且对称轴大于2；
（2）由关于x的方程f（lgx）=0的两根之积x₁•x₂=10可得ax²+（2a+1）x+1-3a=0的两根之和为1，从而求出a的值并验证．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²+（2a+1）x+1-3a在（-∞，2]上单调递增，
∴

a＜0 - 2a+1 2a ≥2

，
解得，-

1

6

≤a＜0；
（2）∵关于x的方程f（lgx）=0的两根之积x₁•x₂=10，
∴lgx₁+lgx₂=lg10=1，
即ax²+（2a+1）x+1-3a=0的两根之和为1，
则-

2a+1

a

=1，
解得，a=-

1

3

，
经验证，成立．

点评：本题考查了二次函数的单调性与二次函数的图象，同时考查了根与系数的关系及复合函数，属于中档题．