Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+a²lnx，（a＞0）
（Ⅰ）若函数y=f（x）在x∈（$\frac{1}{2}$，1）上有最大值，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a≥$\sqrt{6}$，n∈N^*，且n≥2
求证：
①$\sum_{i=1}^{n}$f（x_i）＞0；
②a²ln$\frac{1}{n！}$＜$\frac{n（n+1）（2n-11）}{12}$
（提示：1²+2²+3³+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的范围即可；
（Ⅱ）①求出函数的导数，得到函数的单调性，作和判断即可；②求和，放缩法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=x-2+\frac{a^2}{x}=\frac{{{x^2}-2x+{a^2}}}{x}$，
设g（x）=x²-2x+a²，
①a≥1时，△=4-4a²≤0，
f'（x）≥0，y=f（x）在定义域内单调递增，
∴y=f（x）在$x∈（{\frac{1}{2}，1}）$内无最大值----------------------------（2分）
②0＜a＜1时，令f'（x）=0，
得 ${x_1}=1-\sqrt{1-{a^2}}$，${x_2}=1+\sqrt{1-{a^2}}$，
0＜x＜x₁，f'（x）＞0，x₁＜x＜x₂，f'（x）＜0-----------------------（4分），
x₁为极大值点，当$1-\sqrt{1-{a^2}}＞\frac{1}{2}$时，函数y=f（x）有最大值．
解之得：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜a＜1$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜a＜1$时，函数y=f（x）有最大值．-----------------------------（5分）
（Ⅱ）证明：①因为n∈N^*且n≥2，$a≥\sqrt{6}$，
∴$f'（x）=x-2+\frac{a^2}{x}=\frac{{{x^2}-2x+{a^2}}}{x}＞0$------（7分）
∴$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+{a^2}lnx$在（0，+∞）单调递增．
∵$f（1）=-\frac{3}{2}＜0$，$a≥\sqrt{6}$，
∴f（2）=-2+a²ln2＞0，$f（1）+f（2）={a^2}ln2-\frac{7}{2}＞0$，
 所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＞0（n≥2），
∴$\sum_{i=1}^n{f（{x_i}）}＞0$；-----------------------------（9分）
②f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）
=$\frac{1}{2}（{1^2}+{2^2}+{3^2}+…+{n^2}）-2（1+2+3+…+n）+{a^2}（ln1+ln2+ln3+…+lnn）$，
=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{12}-n（n+1）+{a^2}lnn!$
=$\frac{n（n+1）（2n-11）}{12}+{a^2}lnn!＞0$，
∴$\frac{n（n+1）（2n-11）}{12}＞-{a^2}lnn!={a^2}ln\frac{1}{n!}$，
∴$\frac{n（n+1）（2n-11）}{12}＞{a^2}ln\frac{1}{n!}（n≥2）$-------------------------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．