Question

16．已知函数f（x）=ax+$\frac{4}{x}$．
（1）从区间（-2，2）内任取一个实数a，设事件A={函数y=f（x）-2在区间（0，+∞）上有两个不同的零点}，求事件A发生的概率；
（2）当a＞0，x＞0时，f（x）=ax+$\frac{4}{x}≥4\sqrt{a}$．若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a和b，记事件B={f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B发生的概率．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质求出a的范围，从而求出P（A）即可；（2）得到$4\sqrt{a}＞{b^2}$，求出满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．

解答 解：（1）∵函数y=f（x）-2在区间（0，+∞）上有两个不同的零点，
∴f（x）-2=0，即ax²-2x+4=0有两个不同的正根x₁和x₂，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a≠0}\\{{x_1}+{x_2}=\frac{2}{a}＞0}\\{{x_1}{x_2}=\frac{4}{a}＞0}\\{△=4-16a＞0}\end{array}}\right.$$⇒0＜a＜\frac{1}{4}$，
∴$P（A）=\frac{{\frac{1}{4}}}{4}=\frac{1}{16}$                               
（2）由a＞0，x＞0，$f（x）≥4\sqrt{a}$，
∴$f{（x）_{min}}=4\sqrt{a}$，
∵f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立，
∴$4\sqrt{a}＞{b^2}$（*），
当a=1时，b=1适合（*），
当a=2，3，4，5时，b=1，2均适合（*），
当a=6时，b=1，2，3均适合（*），
满足（*）的基本事件个数为1+8+3=12，
而基本事件总数为6×6=36，
∴$P（B）=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数的最值问题，考查概率公式的应用，是一道中档题．