Question

12．设曲线y=2x-x³在点（1，1）处的切线为l，点P（m，n）在l上，mn＞0，则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，可得切线的斜率和切线的方程，即有m+n=2，则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=$\frac{1}{2}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$），运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：y=2x-x³的导数为y′=2-3x²，
可得在点（1，1）处的切线斜率为2-3=-1，
即有在点（1，1）处的切线方程为y-1=-（x-1），
即为y=2-x，
点P（m，n）在l上，mn＞0，
可得m+n=2，（m＞0，n＞0），
则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=$\frac{1}{2}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）
≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=$\frac{9}{2}$，
当且仅当n=2m=$\frac{4}{3}$时，取得等号．
则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为$\frac{9}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查基本不等式的运用：求最值，注意“1”的代换，考查运算能力，属于中档题．