Question

4．已知$0＜α＜\frac{3π}{4}$，且$sin（α-\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，则cos2α=$-\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 将已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sinα-cosα的值，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系化简求出2sinαcosα的值大于0，由α的范围，得到sinα大于0，cosα大于0，利用完全平方公式求出sinα+cosα的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，将各自的值代入即可求出值．

解答 解：∵sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα-cosα）=$\frac{3}{5}$，
∴sinα-cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{18}{25}$，即2sinαcosα=$\frac{7}{25}$＞0，
∵$0＜α＜\frac{3π}{4}$，
∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{32}{25}$，
∴sinα+cosα=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
则cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$×（-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$）=$-\frac{24}{25}$．
故答案为：$-\frac{24}{25}$．

点评 此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．