Question

4．已知数列{b_n}的前n项的和为S_n，且b₁=1，b_n+1=3S_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{n}{{b}_{n}}$，探究数列{c_n}中是否存在最大项？并给以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b_n+1=3S_n，得b_n=3S_n-1，两式相减，得b_n+1=4b_n，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）假设数列{c_n}中存在最大项c_n=$\frac{4n}{{4}^{n}}$，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4n}{{4}^{n}}≥\frac{4（n+1）}{{4}^{n+1}}}\\{\frac{4n}{{4}^{n}}≥\frac{4（n-1）}{{4}^{n-1}}}\end{array}\right.$，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{b_n}的前n项的和为S_n，且b₁=1，b_n+1=3S_n（n∈N^*），
∴n≥2时，b_n=3S_n-1，
两式相减，得：b_n+1-b_n=3b_n，即b_n+1=4b_n，
∴{b_n}是首项为1，公比为4的等比数列，
∴b_n=4^n-1．
（Ⅱ）数列{c_n}中存在最大项．
证明如下：
c_n=$\frac{n}{{b}_{n}}$=$\frac{n}{{4}^{n-1}}$=$\frac{4n}{{4}^{n}}$，
假设数列{c_n}中存在最大项c_n=$\frac{4n}{{4}^{n}}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4n}{{4}^{n}}≥\frac{4（n+1）}{{4}^{n+1}}}\\{\frac{4n}{{4}^{n}}≥\frac{4（n-1）}{{4}^{n-1}}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4n≥n+1}\\{4n≥16（n-1）}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}≤n≤\frac{4}{3}$，
∵n∈N^*，∴n=1，
∴数列{c_n}中存在最大项${C}_{1}=\frac{4×1}{{4}^{1}}$=1．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列中最大项是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．