题目内容
14．两个方程：x2-4x+a=0和x2-4x+b=0的四个根成等差数列，0＜a＜b，且首项为$\frac{1}{2}$，则a=$\frac{7}{4}$；b=$\frac{15}{4}$．分析 设两个方程：x2-4x+a=0和x2-4x+b=0的四个根分别为x1，x2，x3，x4，利用根与系数的关系可得：x1+x2=4，x1•x2=a，x3+x4=4，x3•x4=b．由于四个根成等差数列{an}，0＜a＜b，且首项为$\frac{1}{2}$，可得x1=$\frac{1}{2}$=a1，a4=4-$\frac{1}{2}$，解得公差d．即可得出．
解答 解：设两个方程：x2-4x+a=0和x2-4x+b=0的四个根分别为x1，x2，x3，x4．
∴x1+x2=4，x1•x2=a，x3+x4=4，x3•x4=b．
∵四个根成等差数列{an}，0＜a＜b，且首项为$\frac{1}{2}$，
则x1=$\frac{1}{2}$=a1，a4=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$+3d，解得d=1．
∴a1=$\frac{1}{2}$，a2=$\frac{3}{2}$，a3=$\frac{5}{2}$，a4=$\frac{7}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}×\frac{7}{2}$=$\frac{7}{4}$，$b=\frac{3}{2}×\frac{5}{2}$=$\frac{15}{4}$．
故答案分别为：$\frac{7}{4}$；$\frac{15}{4}$．
点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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2．定义在R的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=（log3π）•f（log3π），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（-lnπ）•f（-lnπ），则（ ）
| A． | c＞a＞b | B． | c＞b＞a | C． | a＞c＞b | D． | a＞b＞c |
如图，ABCD是边长为2的正方形，ED=1，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且EF=$\frac{1}{2}$BD．