Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径
（1）求圆C的方程；
（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和△POA的面积．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）确定圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）利用点斜式可得直线PA的方程，求出PA，点O到直线PA的距离，可求△POA的面积．

解答： 解：（1）设圆C的圆心C（a，b），半径为r，则a=1，b=3---------（2分）
r=AC=

(2-1)2+(2-3)2

=

2

--------------------------------------------（4分）
∴圆C的方程为（x-1）²+（y-3）²=2----------------------------------------（6分）
（2）∵OP=OA，CP=CA，∴OC是线段PA的垂直平分线---------------（8分）
又OC的斜率为3，∴PA的斜率为-

1

3

------------------------------------------（9分）
∴直线PA的方程为y-2=-

1

3

(x-2)，即x+3y-8=0-----------------（10分）
∵点O到直线PA的距离d=

|0+0-8|

12+32

=

4 10

5

-------------------------------（11分）
OA=

22+22

=2

2

…..（12分）
∴PA=2

OA2-d2

=2

8-( 4 10 5 )2

=

4 10

5

…（13分）
∴△POA的面积=

1

2

PA•d=

1

2

×

4 10

5

×

4 10

5

=

16

5

…（14分）

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查圆的方程，考查三角形面积的计算，属于中档题．