Question

9．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=2，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$和（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$可得|$\overrightarrow{a}$|²=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2|$\overrightarrow{b}$|²，联立两式可得|$\overrightarrow{a}$|²=2|$\overrightarrow{b}$|²=4，计算可得|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，即可得答案．

解答 解：若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，即|$\overrightarrow{a}$|²=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
同理（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2|$\overrightarrow{b}$|²，
综合可得|$\overrightarrow{a}$|²=2|$\overrightarrow{b}$|²=4，
即|$\overrightarrow{b}$|²=2，
|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，注意向量垂直与向量的数量积之间的关系．