Question

17．在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，若$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{PA}$，|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{OB}$|=2，且$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为60°，则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$=-9．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$当基底，表示$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{AB}$，再利用两个向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算可得结果．

解答 解：由$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{PA}$可得 $\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OB}$=3（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$），
即有$\overrightarrow{OP}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OA}}{4}$，
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OA}}{4}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OB}$²-3$\overrightarrow{OA}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$）
=$\frac{1}{4}$（2²-3•4²+2•2•4•$\frac{1}{2}$）=-9．
故答案为：-9．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，两个向量的数量积的定义，数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．