Question

1．已知当-1＜x＜0时，一次函数y=x²-3mx+2的值恒大于1，求m的取值范围．

Answer 1

分析 由条件可得到当-1＜x＜0时，$m＞\frac{x}{3}+\frac{1}{3x}$恒成立，可设$f（x）=\frac{x}{3}+\frac{1}{3x}$，求导数$f′（x）=\frac{{x}^{2}-1}{3{x}^{2}}$，且可判断f′（x）＜0，从而有f（x）在（-1，0）上单调递减，从而有f（x）$＜f（-1）=-\frac{2}{3}$，这样即可求出m的取值范围．

解答 解：根据条件，-1＜x＜0时，x²-3mx+2＞1恒成立；
∴-1＜x＜0时，$m＞\frac{x}{3}+\frac{1}{3x}$恒成立；
设f（x）=$\frac{x}{3}+\frac{1}{3x}$，$f′（x）=\frac{{x}^{2}-1}{3{x}^{2}}$；
∵-1＜x＜0，∴0＜x²＜1，x²-1＜0；
∴f′（x）＜0；
即f（x）在（-1，0）上单调递减；
x从区间（-1，0）的左边趋向0时，f（x）趋向-∞；
∴f（x）$＜f（-1）=-\frac{2}{3}$；
∴$m≥-\frac{2}{3}$；
∴m的取值范围为[$-\frac{2}{3}，+∞$）．

点评 考查不等式的性质，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据单调性求函数取值范围的方法，以及根据m＞f（x）求m的取值范围的方法．