Question

在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ（ρ＞0），设A，B两点的极坐标依次分别为（2，-

π

4

）和（4，

π

4

）．
（Ⅰ）求线段AB的长及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线OA与曲线C的另一个交点为P，过点P作直线AB的垂线l，求直线l的方程．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）由A，B两点的极坐标依次分别为（2，-

π

4

）和（4，

π

4

）．可得∠AOB=90°，利用勾股定理即可得出|AB|．
由曲线C的极坐标方程ρ=6cosθ（ρ＞0）可得ρ²=6ρcosθ，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出；
（II）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得点A、B的直角坐标，可得直线AB的斜率，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得l的斜率，把直线OA的方程与圆的方程联立可得点P的坐标，利用点斜式可得直线l的方程．

解答： 解：（I）由A，B两点的极坐标依次分别为（2，-

π

4

）和（4，

π

4

）．
可得∠AOB=90°，∴|AB|=

22+42

=2

5

．
由曲线C的极坐标方程ρ=6cosθ（ρ＞0）可得ρ²=6ρcosθ，∴x²+y²=6x，
化为（x-3）²+y²=9，可得圆心C（3，0），半径r=3．
（II）由A的极坐标(2，-

π

4

)化为直角坐标(2cos(-

π

4

)，2sin(-

π

4

))，即(

2

，-

2

)．
同理可得B(2

2

，2

2

)．
∴直线OA的方程为：y=-x．
联立

y=-x x2+y2-6x=0

解得

x=0 y=0

或

x=3 y=-3

，得到P（3，-3）．
∵kAB=

- 2 -2 2

2 -2 2

=3，l⊥AB，
∴kl=

-1

kAB

=-

1

3

．
直线l的方程为y+3=-

1

3

(x-3)，化为x+3y+6=0．

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与圆相交问题转化为方程联立可得交点的坐标直线的点斜式、勾股定理等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．