Question

5．设函数$f（x）=sin（2ωx+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}+a（ω＞0）$，且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$．
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在区间$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$上的最小值为$\sqrt{3}$，求a的值；
（3）若g（x）=f（x）-a，则g（x）的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换而得到？并写出g（x）的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析 （1）由题意可知2ω×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即可求得ω的值；
（2）由-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}$，则0≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$，即可求得f（x）的最小值-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，即可求得a的值；
（3）根据图象的坐标变换，g（x）的图象可由y=sinx先向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再向上平移$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$个单位得到．根据函数的性质即可求得g（x）的对称轴和对称中心．

解答 解：（1）由f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$，则2ω×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，则ω=$\frac{1}{2}$，
∴ω的值$\frac{1}{2}$；
（2）∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
f（x）在区间$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$上的最小值为$\sqrt{3}$，
由-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}$，则0≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）的最小值为-$\frac{1}{2}$，f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，则a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴a的值为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
（3）由题可得，$g（x）=sin（x+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以，g（x）的图象可由y=sinx先向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再向上平移$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$个单位得到．
对称轴：$x=\frac{π}{6}+kπ$，对称中心：$（-\frac{π}{3}+kπ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．

点评 本题考查正弦函数的性质，y=Asin（ωx+φ）+B的坐标变换，考查计算能力，属于中档题．