Question

1．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于$x=-\frac{π}{9}$对称，则a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换得出y=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（3x+φ），根据对称轴得出φ的值，再利用sinφ=-$\frac{1}{2}$得出a的值．

解答 解：y=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（3x+φ），其中，sinφ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，cosφ=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
∵函数图象关于x=-$\frac{π}{9}$对称，
∴-$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，即φ=$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z．
∵cosφ=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$＞0，
∴φ=-$\frac{π}{6}$+2kπ，∴sinφ=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=-$\frac{1}{2}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．