Question

10．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，且|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$上的投影为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由已知向量等式求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，进一步求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的值，代入投影表达式计算．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，知$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，
再由且|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，得$（\overline{a}+\overline{b}）^{2}=2（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$，
即${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=2{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2{\overrightarrow{b}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{3}$．
则$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{3}+1}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$．
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题．