Question

18．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C₂的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数，0≤α＜π），射线$θ=φ，θ=φ+\frac{π}{4}，θ=φ-\frac{π}{4}$与曲线C₁交于（不包括极点O）三点A，B，C．
（1）求证：$|{OB}|+|{OC}|=\sqrt{2}|{OA}|$；
（2）当$φ=\frac{5π}{12}$时，B，C两点在曲线C₂上，求m与α的值．

Answer 1

分析 （1）依题意|OA|=4sinφ，$|{OB}|=4sin（{φ+\frac{π}{4}}），|{OC}|=4sin（{φ-\frac{π}{4}}）$，利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为$4\sqrt{2}sinφ=\sqrt{2}|{OA}|$，命题得证．
（2）当$φ=\frac{5π}{12}$时，B，C两点的极坐标分别为$（{2\sqrt{3}，\frac{2π}{3}}），（{2，\frac{π}{6}}）$，再把它们化为直角坐标，根据C₂是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+2$，由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．

解答 （1）证明：依题意|OA|=4sinφ，$|{OB}|=4sin（{φ+\frac{π}{4}}），|{OC}|=4sin（{φ-\frac{π}{4}}）$，
则$|{OB}|+|{OC}|=4sin（{φ+\frac{π}{4}}）+4sin（{φ-\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}（{sinφ+cosφ}）+2\sqrt{2}（{sinφ-cosφ}）$=$4\sqrt{2}sinφ=\sqrt{2}|{OA}|$；
（2）解：当$φ=\frac{5π}{12}$时，B，C两点的极坐标分别为$（{2\sqrt{3}，\frac{2π}{3}}），（{2，\frac{π}{6}}）$，
化为直角坐标为$B（{-\sqrt{3}，3}），C（{\sqrt{3}，1}）$，
曲线C₂是经过点（m，0），且倾斜角为α的直线，又因为经过点B，C的直线方程为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+2$，
所以$m=2\sqrt{3}，α=\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．