Question

3．若函数f（x）满足?a、b∈R，都有$3f（\frac{a+2b}{3}）=f（a）+2f（b）$，且f（1）=1，f（4）=7，则f（2017）=4033．

Answer 1

分析 根据题意，分别令a=1，b=4，或a=4，b=1，求出f（2）=3，f（3）=5，故可得可以猜想f（n）=2n-1，代值计算即可．

解答 解：∵3f（$\frac{a+2b}{3}$）=f（a）+2f（b），
令a=1，b=4，
∴3f（3）=f（1）+2f（4）=1+14，解得f（3）=5，
令a=4，b=1，
∴3f（2）=f（4）+2f（1）=7+2，解得f（2）=3，
由f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7，
可以猜想f（n）=2n-1
∴f（2017）=4034-1=4033
故答案为：4033

点评 本题考查了抽象函数的问题，关键是赋值，寻找规律，属于基础题．