题目内容
17．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，已知a，b，c成等比数列，a2-c2=ac+bc，a=3$\sqrt{3}$，则$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=（ ）| A． | 12 | B． | 6$\sqrt{2}$ | C． | 4$\sqrt{3}$ | D． | 6 |
分析 a，b，c成等比数列，可得b2=ac．又a2-c2=ac+bc，可得b2+c2-a2=-bc．利用余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$．利用正弦定理可得$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{sinA}$，即可得出．
解答 解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac．
∵a2-c2=ac+bc，∴a2-c2=b2+bc，∴b2+c2-a2=-bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$．A∈（0，π）．
∴$A=\frac{2π}{3}$．
则$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{3\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=6．
故选：D．
点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
5．已知复数z满足（2-i）z=1+2i，则z=（ ）
| A． | -2i | B． | $\frac{4}{5}+i$ | C． | i | D． | $\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$ |
12．焦点为（0，±6）且与双曲线$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
| A． | $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$ | B． | $\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$ | C． | $\frac{y^2}{24}-\frac{x^2}{12}=1$ | D． | $\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$ |