Question

8．已知f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若f（x）≥a²-2a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为解不等式组问题，求出不等式的解集即可；
（2）要使f（x）≥|a-1|对任意实数x∈R成立，得到|a-1|≤3，解出即可．

解答 解：（1）不等式f（x）＞5即为|x+2|+|x-1|＞5，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-x-2-x+1＞5}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤1}\\{x+2-x+1＞5}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+2+x-1＞5}\end{array}\right.$，
解得x＜-3或x＞2，
因此，原不等式的解集为{x|x＜-3或x＞2}；
（2）f（x）=|x+2|+|x-1|≥|x+2-x+1|=3，
若f（x）≥a²-2a恒成立，则a²-2a-3≤0，
则（a-3）（a+1）≤0，解得：-1≤a≤3．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．