Question

12．焦点为（0，±6）且与双曲线$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$有相同渐近线的双曲线方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$
• B． $\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$
• C． $\frac{y^2}{24}-\frac{x^2}{12}=1$
• D． $\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$

Answer 1

分析 根据题意，由已知焦点坐标设要求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，分析可得a²+b²=36①，由双曲线$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$的方程可得其渐近线方程，进而可得$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，联立①②可得a²、b²的值，代入要求双曲线的方程，即可得答案．

解答 解：根据题意，要求双曲线的焦点为（0，±6），可以设其方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
若其焦点为（0，±6），即c=6，则有a²+b²=36，①
双曲线$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
则双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线也为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，则有$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，②
联立①②可得：a²=12，b²=24，
则要求双曲线的方程为：$\frac{{y}^{2}}{12}$-$\frac{{x}^{2}}{24}$=1，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，注意用待定系数法分析之前，确定双曲线焦点的位置．