Question

如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，∠C=60°，求证：
（1）△DCE∽△ACB；
（2）DE=

1

2

AB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：立体几何

分析：（1）由AD、BE分别是BC、AC边上的高，可得∠ADB=∠BEA=90°，结合∠EOA=∠DOB，可得：△AOE∽△BOD，进而EO：DO=AO：BO，再由∠EOD=∠AOB，可得：△AOB∽△EOD，进而得到∠BED=∠DAB，再由∠ACB=∠DCE=60°，可得：△DCE∽△ACB；
（2）由∠DCE=60°，可得：△DCE与△ACB的相似比为1：2，进而得到DE=

1

2

AB．

解答： 证明：（1）∵△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，
∴∠ADB=∠BEA=90°，
又∵∠EOA=∠DOB，
∴△AOE∽△BOD，
∴EO：DO=AO：BO，
又∵∠EOD=∠AOB，
∴△AOB∽△EOD，
∴∠BED=∠DAB，
∴∠ABC=90°-∠DAB=∠DEC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴△DCE∽△ACB；

（2）∵∠DCE=60°，
故在Rt△ACD中，CD=

1

2

AC，
故

CD

CA

=

CE

CB

=

DE

AB

=2，
即DE=

1

2

AB

点评：本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解答的关键．