Question

已知f（x）=a-

1

x

是定义在（0，+∞）上的函数
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围；
（3）若不等式x²|f（x）|≤1对x∈[

1

3

，

1

2

]恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）用定义法证明；（2）将题目条件转化为x²-ax+1=0在（0，+∞）上有两个不等的根，从而求解；（3）用换元法化简不等式．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则
f(x1)-f(x2)=(a-

1

x1

)-(a-

1

x2

)=

x1-x2

x1x2

＜0
∴函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知y=f（x）在[m，n]上单调递增，
∴

f(m)=m f(n)=n

，
∴m，n是f(x)=x即a-

1

x

=x的两个不等的正根，
∴x²-ax+1=0在（0，+∞）上有两个不等的根，
∴

△=a2-4＞0 a＞0

，
∴a＞2．
（3）原不等式可化为

1

x

-

1

x2

≤a≤

1

x

+

1

x2

令

1

x

=t，t∈[2，3]，
则t-t²≤a≤t+t²，
∴-2≤a≤6．

点评：本题考查了单调性证明的方法、单调性的应用、换元法及等价转化的思想．