题目内容
已知函数f（x）=x2ex-1-
x3-x2，
（1）讨论函数f（x）的单调性，
（2）设g（x）=
x3-x2，求证：对任意实数x，都有f（x）≥g（x）
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（1）讨论函数f（x）的单调性，
（2）设g（x）=
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考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间．
（2）求函数的导数，利用函数的最值和导数之间的关系即可证明不等式成立．
（2）求函数的导数，利用函数的最值和导数之间的关系即可证明不等式成立．
解答：
解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=（ex-1-1）（x2+2x）=x（x+2）（ex-1-1）
令f'（x）=0，可得ex-1-1=0或x2+2x=0，即x1=-2，x2=0，x3=1
列表如下：
由上表可知函数f（x）在区间（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增函数；在区间（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减函数．
（II）设函数h（x）=f（x）-g（x）=x2ex-1-x3=x2（ex-1-x），
又设函数m（x）=ex-1-x，x∈R，则m'（x）=ex-1-1，
所以当x∈（-∞，1）时，m'（x）＜0，此时m（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，m'（x）＞0，此时m（x）为增函数，
因而m（x）≥m（1）=0恒成立（等号仅当x=1处取得）
综上，当x=0或1时，h（x）=0，即f（x）=g（x）；
当x≠0，且x≠1时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．
综上：对任意实数x，都有f（x）≥g（x）．
令f'（x）=0，可得ex-1-1=0或x2+2x=0，即x1=-2，x2=0，x3=1
列表如下：
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，0） | 0 | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| f′（x） | - | + | - | + | |||
| f（x） | ↓ | ↑ | ↓ | ↑ |
（II）设函数h（x）=f（x）-g（x）=x2ex-1-x3=x2（ex-1-x），
又设函数m（x）=ex-1-x，x∈R，则m'（x）=ex-1-1，
所以当x∈（-∞，1）时，m'（x）＜0，此时m（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，m'（x）＞0，此时m（x）为增函数，
因而m（x）≥m（1）=0恒成立（等号仅当x=1处取得）
综上，当x=0或1时，h（x）=0，即f（x）=g（x）；
当x≠0，且x≠1时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．
综上：对任意实数x，都有f（x）≥g（x）．
点评：本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式的证明，利用导数和函数单调性，最值的关系是解决此类问题的基本方法，考查学生的计算能力．
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