Question

已知集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|ax²+bx+c≤0，a，b，c∈R，ac≠0}，若A∩B=（3，4]，A∪B=R，则

b2

a

+

a

c2

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：并集及其运算

专题：不等式的解法及应用,集合

分析：求出不等式的解，根据集合关系求出a，b，c的值，利用基本不等式进行求解即可．

解答： 解：A={x|x²-2x-3＞0}={x|x＞3或x＜-1}，
∵A∩B=（3，4]，A∪B=R，
∴-1，4是方程ax²+bx+c=0的两个根，且a＞0，
则-1+4=-

b

a

=-3，即b=3a，
-1×4=

c

a

=-4，即c=-4a，
则

b2

a

+

a

c2

=

9a2

a

+

a

16a2

=9a+

1

16a

≥2

9a• 1 16a

=

3

2

，
当且仅当9a=

1

16a

，即a=

1

12

时，取等号，
故最小值为

3

2

，
故答案为：

3

2

．

点评：本题主要考查集合的基本运算，根与系数的关系以及基本不等式的应用，根据条件求出a，b，c的关系是解决本题的关键．