Question

已知二次函数f（x）=mx²+mx+2-m．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若x=0是不等式f（x）＜x唯一的整数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）已知二次函数f（x）=mx²+mx+2-m，若不等式f（x）＞0对任意x∈R恒成立．则：m≠0时，由

m＞0 △=b2-4m(2-m)＜0

，进一步求得结果．
（Ⅱ）利用若x=0是不等式f（x）＜x唯一的整数解，需要满足f（0）＜0，且进一步设：令h（x）=mx²+（m-1）x+2-m，由题意得：m＞2，h（0）＜0，h（1）≥0，h（-1）≥0，最后求不等式组的解集．

解答： 解：（Ⅰ）已知二次函数f（x）=mx²+mx+2-m，若不等式f（x）＞0对任意x∈R恒成立．
则：m≠0时，由

m＞0 △=b2-4m(2-m)＜0

解得：0＜m＜

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（Ⅱ）由f（x）＜x
得：mx²+（m-1）x+2-m＜0
由f（0）＜0
解得：m＞2
令h（x）=mx²+（m-1）x+2-m
由题意得：m＞2，h（0）＜0，h（1）≥0，h（-1）≥0
解得：2＜m≤3

点评：本题考查的知识要点：二次函数恒大于0的条件，及一元二次不等式有某一个唯一实数解的条件，及相关的不等式的解法．