Question

已知函数f（x）=（x-a）²e^x，g（x）=x³-x²-3，其中a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）若存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求实数M的最大值；
（3）若对任意的s，t∈[0，2]，都有f（s）≥g（t），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）在P（1，f（1））处的切线方程，说明P是切点，先将点P代入f（x）得解析式求出f（2），求出切点坐标，再求出原函数导数，求出P处的导数，则利用点斜式可求出切线方程；
（2）首先g（x₁）与g（x₂）是两个函数，因为存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，所以要求M的最大值，只需求g（x₁）_max-g（x₂）_min即可，实际上就是求函数y=g（x）在区间[0，2]上的最大值、最小值，借助单调性容易解决；
（3）这是一个恒成立问题，且是两个函数，所以只需f（s）_min≥g（t）_max即可，由此构造关于a的不等式（组）即可．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=x²e^x，f'（x）=e^x（x²+2x），f（1）=e，f'（x）=3e，
所以所求切线方程为y-e=3e（x-1），即y=3ex-2e．         
（2）g′(x)=3x(x-

2

3

)，x∈[0，2]．令g'（x）=0，得x₁=0，x2=

2

3

．
当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下：

x	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，2)	2
g'（x）		-	0	+
g（x）	-3	↘	极小值	↗	1

所以[g（x）]_max=max{g（0），g（2）}=g（2）=1，[g(x)]min=g(

2

3

)=-

85

27

．
因为存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，
所以M≤[g(x)]max-[g(x)]min=

112

27

．所以实数M的最大值为

112

27

．
（3）由（2）知，在[0，2]上，[g（x）]_max=g（2）=1，所以f（x）_min≥1，f'（x）=e^x（x-a）（x-a+2）．
（ⅰ）当a≤0或a≥4时，在[0，2]上，f'（x）≥0，f（x）是单调增函数．
所以f(x)min=f(0)=a2≥1，解得a≤-1或a≥1．
所以a≤-1或a≥4．
（ⅱ）当0＜a＜2时，在[0，a]上，f'（x）≤0，f（x）是单调减函数；在[a，2]上，f'（x）≥0，f（x）是单调增函数．
所以f（x）_min=f（a）=0≥1，不成立．
（ⅲ）当2＜a＜4时，在[0，a]上，f'（x）≥0，f（x）是单调增函数；在[a，2]上，f'（x）≤0，f（x）是单调减函数．
所以f（0）=a²≥1且 f（2）=（2-a）²e²≥1，又2＜a＜4，可得2+

1

e

≤a＜4．
（ⅳ）当a=2时，在[0，2]上，f'（x）≤0，f（x）是单调减函数．f(x)min=f(2)=(2-a)2e2=0≥1，不成立．
综上，实数a的取值范围是(-∞，-1]∪[2+

1

e

，+∞)．

点评：本题主要是研究不等式有解、恒成立的问题，一般转化为函数的最值问题，但此例第（2）（3）问涉及到两个函数，此时要注意分别研究它们的最值，再构造不等式（组）求解．其中第（3）问涉及的讨论主要是讨论极值点与区间的关系，由此来确定函数在区间[0，2]上的单调性，进而求解．