Question

14．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$（n∈N₊），
（1）计算a₂、a₃、a₄并由此猜想通项公式a_n；
（2）证明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$（n∈N₊），分别令n=1，2，3，即可得出，猜想：a_n=$\frac{2}{2n-1}$．
（2）方法一：利用数学归纳法证明即可，
方法二：利用数列的递推公式可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以1为公差的等差数列，求出数列的通项公式即可．

解答 解：（1）在数列{a_n}中，∵a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$（n∈N*）
∴a₁=2=$\frac{2}{1}$，a₂=$\frac{{a}_{1}}{1+{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{{a}_{2}}{1+{a}_{2}}$=$\frac{2}{5}$，a₄=$\frac{{a}_{3}}{1+{a}_{3}}$=$\frac{2}{7}$，
∴可以猜想这个数列的通项公式是a_n=$\frac{2}{2n-1}$．   
（2）方法一：下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，成立；
②假设当n=k时，a_k=$\frac{2}{2k-1}$．
则当n=k+1（k∈N^*）时，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{1+{a}_{k}}$=$\frac{\frac{2}{2k-1}}{1+\frac{2}{2k-1}}$=$\frac{2}{2k+1}$，
因此当n=k+1时，命题成立．
综上①②可知：?n∈N^*，a_n=$\frac{2}{2k-1}$都成立，
方法二：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∵a₁=2，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=$\frac{2n-1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$

点评 本题考查了数学归纳法、递推公式、数列的通项公式，考查了猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．